דיון אכסיומות

א': אנו נדון הטור זה בשאלה הבאה:

האם יכולות להיות אמיתות פילוסופיות- אקסיומות- שונות (קבוצה נכונה בקבוצה שקרית) אשר מובילות באמצעים כשרים לשני הצדדים- (באמצעות לוגיקה מוסכמת על שני הצדדים) לתוצאות שונות קבילות? 

האם משום שאי אפשר להוכיח אקסיומות ישנן אקסיומות שגויות שכל הניתן לאדם הוא רק לבחור (גם זה בכוכבית- הוא תלוי בחברה בה הוא נולד וכו') או האם יש אקסיומות קבילות לכל הניתנות ליציאה על יד חקירה שכלתנית המצוי בידי כל…?

נ׳: בניסוח אחר של מושא הדיון, אומר כך:

מוסכם בין שנינו שישנן אכסיומות נכונות וישנן אכסיומות שגויות.

(אגב, אנחנו גם מסכימים אודות האפיון של אכסיומות רבות כנכונות ושגויות).

מה שאנחנו חולקים עליו זה הדבר הבא:

לדעתך, ישנם אכסיומות שאפשר להסיק אותם על ידי חוקי הלוגיקה (בניסוח שלך ״חקירה שכלתנית״). אתה מדבר ככל הנראה על האמירות הבסיסיות ביותר - לצורך העניין, אכסיומות ששום הרטמניסט לעולם לא יפגוש אדם שיפגוש אדם שלא מסכים איתם.

אולם לדעתי, מה שאתה אומר כופר בהגדרה של אכסיומה. אכסיומות הם משהו שאנחנו מניחים את נכונותו בלי הוכחה אפיסטמולוגית. צעד זה נעשה ״לפני״ שמפעילים את הלוגיקה - כלומר, הנחת האכסיומות נעשית על ידי מכניזמים אחרים שאינם הלוגיקה (בניסוח שלך, ״לבחור״ בכוכבית). וכיוצא בזה, לעולם לא נוכל להסיק אכסיומה על בסיס מתודולוגיה לוגית.

כאמור, כמובן שיש אכסיומות נכונות ושגויות - אבל הביקורת שלנו כלפי אכסיומות לא נכונות תהיה מהסוג של אי הסכמה עם הנחת היסוד, ולא מהסוג של אי הסכמה עם התקפות הלוגית של אמירותיהם.

ובמילים אחרות: אפשר להיות לוגיקאי מוצלח ואדם עם אמונות לא נכונות בו בעת. אדם שמניח אכסיומות לא נכונות, אין זה נוגד את הלוגיקה.

א': לא בדיוק. אני חולק על הרישא של דבריך, דעתי היא שאין דבר כזה שנקרא אקסיומת שקר. אומנם אי אפשר להוכיח את קיומה של אקסיומה מבלי להיעזר באחרות (כביכול) אך לחלוטין ניתן להפריך כל אחת שקרית.

ע"פ ההגדרה הכי פשוטה של אקסיומה, אקסיומה היא אמיתה ("או הנחת יסוד") שמתייחסים אליה בלי להוכיחה. ונבהיר מעט את המושג "הוכחה אפיסטמולוגית"- אפיסטמולוגיה הוא ענף פילוסופי העוסק בשאלת הידע. מהן גבולות הידיעה, האם יש גבולות? כיצד ניתן "לרכוש" ידיעה, האם דרך חושים או הגיון וכו'? מה היחס בין מה שאני "יודע" לבין המציאות ה"אובייקטיבית" וכו'... בקיצור הוכחה אפיסטמולוגית (ותקן אותי אם אני טועה) היא הוכחה אשר מקיימת שלושה תנאים-      הדבר אותו אני מוכיח נכון.         אני מאמין כי הדבר אותו אני מוכיח נכון.          יש לי סיבה מוצדקת להאמין באותו הדבר שאני מוכיח.

אני ואתה כנראה לא נסכים על הסעיף האחרון. האם ומה נחשב סיבה מוצדקת להאמין בדבר כאמיתה. האם אלו רק אקסיומות, הכוללות גם את כללי ההיגיון הבסיסיים ביותר מאחד ועוד אחד שווה שתים ועד כל דבר שווה לעצמו, (ובכך אנחנו נתקעים ואתה צודק) או שמא ישנה דרך "מוצדקת" להאמין בדבר שהוא אמת מבלי להוכיח אותו באמצעות "מתודולוגיה לוגית"

נ׳:

אני חושב שבמקום לחשוב על אכסיומה כיחידה בודדת, כדאי לדבר במושגים של מערכות של אכסיומות - סט של אכסיומות ש״מחזיקות את עצמן״. משל למה הדבר דומה, מילון. חייזר שרוצה ללמוד שפה יפתח מילון, יחפש מילה, ויראה שהיא מוגדרת על ידי מילים אחרות - שאותן הוא יחפש ויגלה שגם הן מוגדרות על ידי מילים אחרות, ואין לדבר סוף. זה פרדוקס, אך היופי הוא שבפועל, המערכת הזו של הגדרות מחזיקה את עצמה. אנחנו מבינים את המשמעות של מילים. מהרגע שבו אנחנו ״בוחרים*״ את המערכת הזו של הגדרות, יש לנו מרחב שאפשר לפעול בו.

אולם, אנשים שונים מדברים שפות שונות, וכל אחת מהן מחזיקה את עצמה במידה שווה - כולן ״הגיוניות״. כך, כל מערכת של אכסיומות מקיימת הרמוניה לוגית בינה לבין עצמה. אדגיש שאני מאמין באמת אובייקטיבית אחת ואבסולוטית, אבל (וזה מהדהד את מה שכתבתי לעיל) הביקורת שלי כלפי מערכות של אכסיומות שטועות בעיני היא מתחום האונטולוגיה ולא מתחום האפיסטמולוגיה. כלומר: אני חושב שהם אומרים טעות (לפעמים טעות חמורה), אבל לא ג׳יבריש.

כעת אשליך מהתפיסה שלי שפרסתי לעיל ישירות על מה שאמרת אתה:

1. מנקודת המבט שלי, זה מוזר שהגדרת אכסיומה כהיגד אמת בהכרח. לדעתי זה לא הגיוני לכלול את זה בהגדרה. כנראה שהדבר נובע מכך שלמיטב הבנתי אתה מאמין שישנו רק סט אפשרי אחד של אכסיומות שיש לו קבילות לוגית, בעוד אני חושב שמתקיימות כמה במקביל. בנוסף אפנה אליך את השאלה: כיצד היית מגדיר את אותם הנחות שגויות אם הן לא אכסיומות? למשל ההיגד ״דרך שתי נקודות במישור עוברים שני ישרים״ - הייתי מכנה אותו אכסיומה, מסוג לא נכונה. כיצד אתה היית מגדיר אותו?

2. אני לא בטוח מה דעתי לגבי ההגדרה שלך  ל״הוכחה אפיסטמולוגית״ אבל מסכים איתך שסעיף ג הוא החשוב בה - כפי שציינת, נשאלת השאלה מה היא ״סיבה טובה להאמין במשהו״ - כלומר נימוק טוב למה לבחור מערכת אחד של אכסיומות על פני השניה. לדעתי, אין שום סיבה כזו שנמצאת בתחום ההיגיון, אלא רק מחוצה לו, מפני שתחום ההיגיון בהכרח מצריך שימוש באכסיומות. אם תרצה, נוכל לדבר על מהו אותו מנגנון שיכול לשמש לבחירה נכונה של מערכות של אכסיומות. בקצרה, אני חושב שזה שילוב של כלים כמו אינטואיציה, ניסוי וטעיה, מסורת, ועוד.

א׳: דבר ראשון, מזדהה מאוד עם הרצון שלך להתייחס לכל בתור שכבות- הבנויות לעיתים בכפיפה או באיזה קשר מסוים- (ולעיתים לא). אני כן אעדיף מאוד לקחת את השאלות האלו למגרש המתמטיקה והנושאים המדעיים משום שמתוכם לדעתי ניתן יהיה להשליך ולבאר ביתר קלות על מה (והאם) אנחנו חלוקים.

אקסיומה- "היא הנחה אשר מתייחסים אליה במסגרת מסוימת כנכונה מבלי להוכיחה" - 

אנחנו יכולים להניח כל דבר כאקסיומה לשם הדיון. זה עדיין ייקרא בעיקרון "אקסיומה". "אשר מתייחסים" אנחנו- סובייקטיבי. אבל ברור שלא לזה אתה מתכוון… זה מצחיק כי סיווגת את ה"אקסיומה"- דרך שתי נקודות במישור עוברים שני ישרים- בתור אקסיומת טעות- כזאת שאני ואתה יכולים להסכים שלא נכונה, אבל זה כבר שולל את מעמדה כאקסיומה.   נראה אפוא על פניו כי אקסיומה היא תזה. וככל שהיא "רצה" יותר היא צוברת עוד ועוד "כוח"... 

נסה לדייק אותי ולהאיר את הסדקים